数理談話会

函数論で有名なBieberbach予想（de Brangesの定理）は，単位円板上の単葉函数のTaylor係数に非常に強い制約を主張する．この予想に対するある種の変分法的なアプローチが，Loewnerの微分方程式である．この方程式は，包含で単調な平面領域族（に付随する等角写像族）の時間発展を記述する一般的な枠組みを与えていて，現代では方々に応用される．例えば，統計物理の文脈で現れるランダム平面曲線は，1次元Brown運動で駆動されるLoewner型方程式で記述され，Schramm-Loewner evolution略してSLEと呼ばれている．一方，1950年に小松はLoewner方程式を有限連結領域（穴が有限個開いた領域）へと拡張した．彼の結果は「眠って」いたが，2000年以降SLEの爆発的な成功を受け，小松の方程式によってSLEを有限連結領域へと拡張することが試みられた．本講演では，講演者の過去の結果も交えて，上述したような研究動向について概説する．