分野別セミナー

フラクタル上のラプラシアンおよび対応する拡散過程（標本路が連続であるようなMarkov過程）の研究における中心的な結果として，典型的な状況では熱核（拡散過程の推移確率密度）は2より大きい時空間スケール指数$\beta$を含む形にGauss型評価を一般化した「劣」Gauss型と呼ばれる評価を満たす，というものがある．指数$\beta$は拡散過程のwalk次元と呼ばれ，考えているフラクタルの幾何が「滑らかな幾何にどの程度近いか」が$\beta$の値に表れていると解釈することができる．これに関して木上 $[Math.\ Ann.\ \textbf{340} (2008), 781$--$804]$は標準2次元Sierpiński gasketの場合を考え，対応するDirichlet形式（2次エネルギー汎関数）としては同じものを用いつつ空間上の距離と測度を適切に変更することにより，この指数が2になる（すなわちGauss型熱核評価が成り立つ）ようにできることを示した．すると自然に「ではこの現象は拡散過程に対してどの程度一般的に成り立つものなのか」という問いが考えられる．

本講演ではこの問いに（部分的な）解答を与える．具体的には次の結果を紹介する：

(1) 任意の有界閉集合がコンパクトであるような測度距離空間上の任意の対称拡散過程（対応する熱半群が$L^{2}$-内積に関して対称であるような拡散過程）に対し，ある適切な範疇で空間上の距離と測度を変更することにより実現される指数$\beta$の値全体に対する下限は（無限大でない限り）常に2である．（この下限を対称拡散過程の共形walk次元(conformal walk dimension)と呼ぶ．）

(2) (1)で考えた下限の値2は，3以上の整数$N$に対する標準$N$次元Sierpiński gasket上のBrown運動，およびある程度広範な2次元Sierpiński carpets上のBrown運動の場合には達成されない．

本講演はUniversity of British ColumbiaのMathav Murugan氏との共同研究に基づく．上記(2)の2次元Sierpiński carpetsに対する結果は準備中であり，それ以外の結果は$[Invent.\ math.\ \textbf{231} (2023), 263$--$405]$で得られたものである．

Abstract:
It is an established result in the field of analysis of heat equations and associated diffusions (Markov processes with continuous sample paths) on fractals, that the heat kernel (the transition density of the diffusion) typically satisfies analogs of Gaussian bounds which involve a space-time scaling exponent $\beta$ greater than two and thereby are called SUB-Gaussian bounds. The exponent $\beta$, called the walk dimension of the diffusion, could be considered as representing
$``$how close the geometry of the fractal is to being smooth''. It has been observed by Kigami in $[Math.\ Ann.\ \textbf{340} (2008), 781$--$804]$ that, in the case of the standard two-dimensional Sierpiński gasket, one can decrease this exponent to two (so that Gaussian bounds hold)
by suitable changes of the metric and the measure while keeping the associated Dirichlet form (the quadratic energy functional) the same. Then it is natural to ask how general this phenomenon is for diffusions.

This talk is aimed at presenting (partial) answers to this question. More specifically, the talk will present the following results:

(1) For any symmetric diffusion (diffusion whose associated heat semigroup is symmetric with respect to the $L^{2}$-inner product) on a metric measure space in which any bounded closed set is compact, the infimum over all possible values of the exponent $\beta$ after $``$suitable'' changes of the metric and the measure is ALWAYS two unless it is infinite. (We call this infimum the conformal walk dimension of the diffusion.)

(2) The infimum as in (1) above is NOT attained, in the cases of the Brownian motion on the standard three- and higher-dimensional Sierpiński gaskets and on some planar Sierpiński carpets.

This talk is based on joint works with Mathav Murugan (University of British Columbia). The results are given in $[Invent.\ math.\ \textbf{231} (2023), 263$--$405]$, except for the non-attainment result for planar Sierpiński carpets in (2) above, which is in preparation.