分野別セミナー

本講演では，二次元の一般化 Zakharov-Kuznetsov 方程式にx方向のみの散逸項
を付与した，一般化 Zakharov-Kuznetsov-Burgers 方程式の初期値問題について，
その解の大域挙動を考える．この問題は，散逸項と分散項の形状により，方程式
が空間異方性を持つことが特徴で，散逸項の影響がx方向には放物型方程式の
性質を与える一方，y方向の分散性が無視できず，分散型方程式の性質も併せ持
つという構造をしている．この異方性による散逸と分散の相互作用は解の構造
にも本質的に影響を与え，放物型方程式や分散型方程式の既存の結果と異なる
挙動が得られる．本研究では，初期値が絶対可積分性と適当な正則性の条件を満
たすという仮定の下，解が$L^\infty$の意味で$t^{-3/4}$のオーダーで減衰することを示した．
これに加えて，解の$t \to \infty $での近似公式を与え，それを利用してこの減衰率$t^{-3/4}$
が最良であることを証明した．さらに，放物型方程式と分散型方程式の漸近解析
を上手く組み合わせることで，解の詳細な漸近形の導出にも成功したので，それ
らの結果を報告する．本講演は宮崎大学の平山浩之氏との共同研究に基づく.