分野別セミナー

【講演要旨】位相空間Xの異なるn個の点の順序対全体がなす空間C_n(X)をordered n-configuration spaceといい、n次対称群Σ_nの標準的な作用による商空間B_n(X)をunordered n-configuration space という。これらは、より一般にはloop spaceのモデルとして扱われ、特にX=R^\inftyの場合には対称群の分類空間を与えるなど、非常に重要な空間のクラスである。
Euclid空間と球面の上のconfiguration spaceについて、そのホモロジー群やコホモロジー群、ホモトピー群は比較的多く結果がある。一般の多様体上のconfiguration spaceのホモロジーとコホモロジーについては、Bödigheimer, Cohen, Taylor などによってBetti numberが調べられており、graded module としての構造の結果は多く見られる。一方で、コホモロジーのさらなる代数構造の決定については未解明な部分が多い。
本講演では、トーラスT^d上の2-confituration spaceのコホモロジー群への対称群の作用を決定し、それを用いてd=2,3の場合のコホモロジーの構造を部分的な積を含めて決定する。

Abstract: The space C_n(X) consisting of all n-tuples of a topological space X is called the ordered n-configuration space of X, and the quotient space B_n(X) obtained by the canonical action of the symmetric group Σ_n of degree n is called the unordered n-configuration space. These are in an important class of spaces which are known as models of loop spaces, and in particular they give a model of universal Σ_n-bundle when X=R^\infty.
For the case of the space X is Euclidian space or sphere, there are relatively many results about its homology, cohomology and homotopy groups. Concerning configuration spaces over general manifolds, Bödigheimer, Cohen and Taylor have studied the graded module structure of the homology and cohomology groups. However, there are few results which specify further algebraic structure of its cohomology groups.
In this talk, we see the representation of Σ_2 on the mod 2 cohomology groups of the 2-configuration space over torus, and applying this result, we partially determine the ring structure of the cohomology.