分野別セミナー

素数$p>3$に対し, Markoff mod $p$ graph $G_p$は位数$p$の有限体上の
Markoff方程式の非ゼロな解の集合上で定義される有限3-正則グラフであり,
代数幾何, 整数論, グラフ理論, 暗号理論などの様々な分野で近年研究が進められている.
Bourgain-Gamburd-Sarnak (2016) によって$G_p$はエクスパンダー族をなすことが
予想されており (BGS予想), 現在も未解決である.
一方で, BGS予想の傍証に関してはいくつかの結果が知られており,
Courcy Ireland (2024) は $p=7$の場合を除いて, $G_p$が平面グラフではない
いことを証明した. 実際, 平面グラフはLipton-Tarjan (1979) のセパレーター定理より
エクスパンダー族をなしえないことから, 非平面性はエクスパンダー性の一つの必要条件でもある.
　本発表では, $Gp$内の完全2部グラフ$K{3,3}$の細分を具体的に複数構成することで,
$p=7$の場合を除いて, $G_p$が射影平面にもトーラスにも埋め込み不可能であることを示す.
この結果はCourcy Ireland (2024) の結果の拡張となっており, 有界種数をもつグラフに関する
セパレーター定理から, やはりBGS予想の傍証を与えている.
時間が許せば, G_pの全自己同型群に関する予想や一般化したMarkoff mod $p$ graphに関する
結果も紹介する.
　本発表は山﨑 義徳 氏 (愛媛大学) との共同研究に基づく.


今回は暗号学セミナーとの共催で，オンライン参加登録フォームを作っています。
https://forms.gle/HUBoDXtrERNpxwDE9
オンライン参加の方はこちらに登録してzoomリンクを取得してもらうようにして頂けますと幸いです。