数理談話会

イマジナリーキューブとは、立方体と同じ様に直交する３方向から見て正方形
に見える立体のことです。この話では、イマジナリーキューブと、それの任意の
次元への一般化であるイマジナリーハイパーキューブについて話をします。


よく知られた立体の中では、正四面体や立方八面体はイマジナリーキューブです。
それ以外にも、H と T と名付けられた多面体は、きれいな性質を持ったイマジ
ナリーキューブです。例えば、H と T を用いて３次元空間を充填することができ
ますし、正四面体と H と T は、それらを基本図形としたフラクタルなイマジナ
リーキューブを作ることができます。これらの立体の数学的な性質を用いて、こ
れまでに、パズルをデザインし、オブジェを制作してきました。前半では、これ
らの立体にまつわる数学や、これらを用いてこれまで行ってきた様々な活動を紹
介します。パズルと立体オブジェも楽しみにしていてください。


後半では、イマジナリーキューブの４次元以上への拡張についてお話をします。
正四面体と H と T 、および、それから作られるフラクタルは、任意の n に対し
n 次元の対応する立体が存在します。また、４次元空間では、正四面体の４次元
版（１６胞体）が特に面白いイマジナリーハイパーキューブになっています。
この立体は正四面体と H と T の持っていたいい性質を受け継いでおり、１６胞
体だけを用いて４次元空間充填が可能です。


クイズ：
以下の立体は、典型的なイマジナリーキューブです。どのようにイマジナリー
キューブになっているか分かりますか？
(a) 正四面体
(b) 立方八面体
(c) H (底辺：高さ＝２：３の二等辺三角形の面を１２個もった重六角錐 ）
(d) T (底辺：高さ＝4: √6 の三角柱の片方の面の３頂点の周りを切ってできた
反三角錐台)