分野別セミナー

pを素数，qをp巾，A=F_q[t]を有限体F_q上の一変数多項式環，kをAの商体，PをAのモニック既約多項式とする．Drinfeld保型形式とは，k上のDrinfeld上半平面におけるある種のリジッド解析関数であり，楕円保型形式の関数体類似と見なせる．p進楕円保型形式の理論は1970年代以降高度に発展し，肥田族や固有値曲線を初めとする固有形式のp進族の理論に結実した．一方で，Drinfeld保型形式に対してもそれに匹敵する深度を持つP進理論の存在が期待されており，数値計算による証拠も蓄積されてきているが，研究の進展にはまだ多くの障害があり，その全容は明らかになっていない．

代数体上の保型形式のp進理論においては，有限局所自由群スキームのHodge-Tate写像が重要な役割を果たす．本講演では，有限v加群と呼ばれるクラスの有限局所自由群スキームに対する田口双対性を用いてHodge-Tate写像の関数体類似（Hodge-Tate-田口写像）を定義し，それを用いてP進Drinfeld保型形式の幾何的な理論を展開する．応用として，Fourier展開の高次合同を持つDrinfeld保型形式の重さの間に高次合同が存在することなどを示す．また，時間が許せば，過収束Drinfeld保型形式への応用についての今後の展望も述べる．