分野別セミナー

連結な有向閉曲面の写像類群は、その曲面上の向きを保つ自己微分同相写像のイソトピー類のなす群である。この群はタイヒミュラー空間論やLefschetz fibrationの理論、代数幾何学等で重要な役割を持っている。

Gを群とする。Gの交換子群の元xについて、xの交換子長cl_G(x)を、xに等しいGの交換子の積の個数の最小数と定義し、xの安定交換子長scl_G(x)を、cl_G(x^n)/n のnを無限大にしたときの極限とする。安定交換子長は幾何的群論、有界コホモロジーの理論、シンプレクティック・トポロジーなどに関係している。

この講演ではまず、写像類群の重要な元であるDehn twistの安定交換子長についての知られている結果を紹介する。また、分離曲線に沿ってのDehn twsitの安定交換子長が種数に依存することは知られているが、知られている上界は定数であり、よい上界にはなっていなかった。そこで種数6以上のときに、種数に依存する安定交換子長の上界を今回得たので、そのことについて話したい。
（本講演の内容は、門田直之氏（京大数理研）との共同研究による。）