分野別セミナー

　レフシェッツ束は、非特異射影代数多様体の位相的性質の
研究のために導入されたが、その後、smoothカテゴリーに
拡張され、さらに1990年代後半に、Donaldson、Gompfにより
４次元シンプレクティックトポロジーとの密接な関係が指摘
されて以来、精力的に研究され続けている。
レフシェッツ束は、曲面上の曲面束のようなもので、ただし
レフシェッツ型と呼ばれる特異点を有限個許容する４次元
多様体上の構造である。その特異ファイバーの本数は自由に
とることはできず、種々の制約があることが知られている。
特に、ファイバーの種数gと底空間の種数hを固定したときの
とりうる特異ファイバーの最小本数N(g,h)は興味深く、多くの
研究がなされてきた。
今回の講演では、これまであまり結果のなかったトーラス上
のレフシェッツ束の場合N(g,1)について、上からの評価を
いくつか得たので、その構成法を説明する。

Title:

On the minimal number of singular fibers in a Lefschetz fibration over
the torus

summary：
Lefschetz fibrations were originally introduced for studying topological
properties of smooth complex projective varieties, and afterwards
generalized to smooth category. Furthermore Donaldson and Gompf
revealed the close relationship between Lefschetz fibrations and
4-dimensional symplectic topology in the late 1990s, and since then
they have been extensively studied.
A Lefschetz fibration is a structure on a 4-manifold, which resembles
a surface bundle over a surface, but which allows finitely many
singularities, called Lefschetz type critical points. The number of
singular
fibers in a Lefschetz fibration cannot be arbitrarily, several non-
trivial
constraints have been known. In particular, when the genus g of a
regular fiber and the genus h of the base space are fixed, the minimal
number N(g,h) of singular fibers in a Lefschetz fibration is an
interesting
object, and there have been a lot of study about N(g,h).
In the case of Lefschetz fibrations over the torus, however, very few

constraints have been known. The speaker recently found some upper
bounds for N(g,1). In this talk, their constructions will be presented.