分野別セミナー

完全圏の複体の圏に擬同型 (quasi-isomorphism) という概念があるのと同様に、
弱同値付完全圏（若しくは、ある種の Waldhausen 圏）に対して
その複体の圏に「擬弱同値」なる弱同値を導入する.
この擬弱同値を可逆にすることで新たな導来圏（三角圏）を構成できる.
一般に完全圏の複体の圏と擬同型は弱同値付完全圏と見なせるので,
これから更に二重複体の圏に擬擬同型、三重複体の圏に擬^3同型を
帰納的に定義することが出来、付随する導来圏として所謂「高次導来圏」を得る.

応用として完全圏に対する負の代数的 K 群が
この高次導来圏の Grothendieck 群で記述できること、
またこれらの K 群が消えるための必要十分条件が
やはり高次導来圏で表せることを紹介する.

As quasi-isomorphisms in the category of chain complexes, I
introduce the notion of “quasi-weak equivalences” associated
with weak equivalences in an exact category (or some kind of
biWaldhausen categories).
The derived category of an exact category with weak equivalences
is obtained by formally inverting such quasi-weak equivalences
in the category of chain complexes.
As applications, we obtain a delooping the K-theory for exact categories
and a condition on the negative K-groups to be trivial.