分野別セミナー

有限次元複素半単純代数群 $G$ に付随する affine Grassmannian の中の
Mirkovic-Vilonen サイクル (と呼ばれる、有限次元 subvariety) 達によって、
$G$ の Langlands dual group $G^{\vee}$ (に付随する量子群) の有限次元既約
最高ウエイト表現 $L(\lambda)$ の結晶基底 $B(\lambda)$ が実現される事は、
良く知られている。但しここで、$\lambda$ は、$G$ の dominant coweight で
ある。
これらの Mirkovic-Vilonen サイクルと、($G$ の極大トーラス $T$ の作用に関
する) moment map によるそれらの像である Mirkovic-Vilonen 多面体とは 1 対
1 に対応しているので、Mirkovic-Vilonen 多面体の集合を調べる事により、結
晶基底 $B(\lambda)$ の組合せ論的な構造を詳しく調べる事が出来る。
この講演では、結晶基底 $B(\lambda)$ 達のテンソル積を考えた時に、対応する
Mirkovic-Vilonen 多面体がどの様に振舞うかという問題に関して我々が得た結
果を紹介する。さらに、その応用として、結晶基底 $B(\lambda)$ の部分クリス
タルである Demazure crystal に属する Mirkovic-Vilonen 多面体の特徴付けに
ついて述べたい。
なお、上記の結果は、加藤 周 (京大数理研)、佐垣 大輔 (筑波大学) の両氏と
の共同研究である。