分野別セミナー

材料科学の基礎研究において，結晶の構造を調べることは大変重要である．Gibbs や Curie らによって十分小さい結晶の平衡形は，その結晶の体積を一定にしたままでその非等方的表面エネルギーを最小にする形になる事が知られており，Wulff shapeと呼ばれる凸体と一致する．例えばシャボン玉，塩の結晶の平衡形はそれぞれ，球面，立方体である．Wulff shapeは常に滑らかとは限らず，塩の結晶のように角や真っ直ぐな線分，平らな面(Facet)を持つ場合もある．そこで,「どのような場合に Wulff shape は 線分や平らな面を持つのであろうか?」という自然な問題に対して，2017 年に Han-Nishimura は，Wulff shape が狭義凸である事とその convex integrand(結晶のエネルギー密度)が C1 級である事が同値であることを示した．彼らのグローバルな結果に対して，私はその両者のより詳しい関係性を調べ るために，Wulff shape の 1 つの方向における ”face set”と convex integrand の 1 点での ”derivative direction”を導入し，それらの次元の関係式を各点で考えることで，両者のより詳細な関係を明らかにする定理を導いた．さらにその定理の系として，彼らの結果に対する各点バージョンの定理を導き，またその定理を全ての点で考えることで，Han-Nishimura の結果を復元できることも示した．本講演ではその結果について述べる.