分野別セミナー

木上 [Math. Ann. 340 (2008), 781--804] はSierpi\'{n}ski gasketと呼ばれる自己相似フラクタルにおいて「測度論的Riemann構造」を導入しその解析・幾何的性質を調べた．そこでは関数の「勾配ベクトル」，「Riemann体積測度」，「測地距離」といったRiemann幾何学的な概念が自然に定まり，かつ対応する熱核が上下のGauss型評価を満たすことが同論文の結果により知られている．

本講演では，この場合のLaplacianの固有値のWeyl型漸近挙動に関する講演者の結果を紹介する．固有値の漸近挙動を考えると極限には測地距離に関する領域のHausdorff測度の定数倍が現れ，さらにHausdorff測度は「Riemann体積測度」とは互いに特異であるという真新しい現象が見られる．さらに最短測地線の特徴付けに関する結果を紹介し，応用としてRicci曲率の下限に関する条件であるSturm, Lott-Villaniによる曲率次元条件$CD(k,N)$や太田，Sturmによる測度の縮小性$MCP(k,N)$が成り立たないことを示す．時間があれば他の自己相似フラクタルへの拡張の（不）可能性にも触れる．