分野別セミナー

偏微分方程式の精度保証付数値検証法として、コンパクト作用素の不 動点問題に帰着させる中尾の方法と、数値解近傍のベクトル場から位相幾何学的情報を求め、解の存在を示すZgliczynski-Mischaikowの方 法がよく知られている。
前者は有限要素法を用いていて、一般の有界領域や境界条件における解の検証への応用がある。後者はフーリエス ペクトル法を用いているので適用できる問題に限度があるが、解あるいはそれを含む力学系としての不変集合の情報も得られるので、方程 式が生成する局所的、大域的力学系の構造検証への応用がある。
今講演では、有限要素法と位相幾何学的概念であるConley-Rybakowski指数を用いて、力学系としての情報も保持させる放物型偏微分方程式の定常解・時間依存大域解の存在検証法を考察する。
取り上げるのはコンパクト区間で定義され、ディリクレ境界条件を課した問題に限るが、発展方程式、微分方程式、力学系としての考察により、（例えば2次元）有界領域で定義され、より一般の境界条件を課した方程式への適用も充分に見込める。
最後に、これまで知られている解の数値検証法と組み合わせることで得られるであろう性質について、個人的な展望を簡単に述べたい。