分野別セミナー

超離散化は与えられた差分方程式をセル・オートマトンに変換する極限操作で
ある．また，この手法で構成されたセル・オートマトンは元の方程式の厳密解
の構造などの本質的な特徴を保存することが知られている．我々は微分方程式
に対して超離散化を行う系統的な方法を確立した．その方法は1階の微分方程式
や反応拡散方程式に適用できるものである．1成分の反応拡散方程式としてよく
知られているAllen-Cahn方程式にその方法を適用して，超離散Allen-Cahn方程
式を導出する．超離散方程式は区分線形方程式であるので，その「線形性」か
ら様々な厳密解を得ることができる．得られた超離散Allen-Cahn方程式に対し
て，定常解や進行波解および大域解を与える．これらの解は元の方程式の解と
類似していることが分かる．

Ultradiscretization is a limiting procedure transforming a given
difference equation into a cellular automaton. In addition the
cellular automaton constructed by this procedure preserves the
essential properties of the original equation, such as the
structure of exact solutions. We present a systematic approach
to the construction of ultradiscrete analogues for differential
systems. Our method is tailored to first-order differential
equations and reaction-diffusion systems. We apply our method
to Allen-Cahn equation which is the well-known one-component
reaction-diffusion equation.
Because ultradiscrete equations are piecewise linear equations,
various exact solutions can be obtained from the `linearity'.
Stationary solutions, travelling wave solutions and entire
solutions of the resulting ultradiscrete systems are constructed.
These solutions are similar to the solutions of the original
equation.
＊現象数理セミナー・九州可積分系セミナー　合同セミナーです。