分野別セミナー

本講演では、横方向に周期境界条件を課した空間2次元のZakharov-Kuznetsov方程式の不安定な線状進行波周りの中心安定多様体について考察する。Zakharov-Kuznetsov方程式はKorteweg-de Vries方程式の2次元版の方程式の1つであり、Korteweg-de Vries方程式の進行波であるKdVソリトンに対応する線状進行波を解としてもつ。全空間の線状進行波はRoussetとTzvetkovにより、進行速度によらず不安定であることが示されている。一方、線状進行波の進行方向に直交する方向である横方向に周期境界条件を課した場合は、線状進行波の進行速度が小さいときは安定であり、大きいときは不安定になる。以前の研究で、進行速度が臨界速度でない不安定な線状進行波周りの中心安定多様体が存在することを示した。特に、中心安定多様体上に乗るような初期摂動に関して、この不安定な線状進行波は安定になる。以前の研究では、不変多様体にリャプノフ関数の候補関数を制限し、方程式の対称性と進行速度パラメータを調整して、候補関数の2次変分の正値性を示し、中心安定多様体の性質を示していた。一方、進行速度が臨界速度である不安定な線状進行波に関しては、候補関数の2次変分の正値性が退化する。本講演では、進行速度が臨界速度である不安定な線状進行波に対して、リャプノフ関数の候補関数の高次項の正値性と、高次の項による誤差項の評価を用いた、不変多様体上での安定性解析について紹介する。


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