分野別セミナー

1次元空間上の非線形拡散方程式の自由境界問題を考える. 非線形項が単安定, 双安定, 燃焼型と呼ばれる３タイプのいずれかである場合, 時間無限大における詳細な漸近挙動がDuとLouによって得られた. 具体的には主に次の２つの場合が起こる:
(1) 自由境界は $t\to\infty$ において正の無限大に発散し, 関数 $u$ はある正の定数に広義一様収束する(speading),
(2) 自由境界は $t\to\infty$ において有限の範囲にとどまり, $u$ は $0$ に一様に収束する (vanishing).

本講演ではまず自由境界問題に関する先行研究と関連するCauchy問題と進行波に関する結果を紹介する. その後, DuとLouの研究において, spreadingが起こる場合, 自由境界の進行速度(spreading speed)の詳しい評価が得られることと, 時間が十分経過したあとでは関数 $u$ は非線形項のみから決まる進行波のように形を変えずに一定速度で動く関数に近づくことを示す.
(本講演はYihong Du教授(University of New England, Australia)およびMaolin Zhou氏(東京大学)との共同研究に基づく.)