分野別セミナー

半線形熱方程式$u_t = \Delta u + u^p$ における解の爆発の速さ(blow-up rate)について考える。儀我--Kohn '87 及び 儀我--松井--笹山 '04 により、指数 $p$ がソボレフ劣臨界の場合、全ての爆発解は後方自己相似解と同じ rate で爆発(Type I 爆発)することが証明されている。一方、指数 $p$ がソボレフ優臨界の場合については Type I より速い blow-up rate を持つ解 (Type II 爆発解)の列 $\{ u_{\ell} \}$ が $Herrero--Vel\acute{a}zquez$ '94 により構成された。近年俣野、溝口両氏はその特殊な爆発解 $u_{\ell}$ を基にして、適当な条件下では Type II 爆発する解の具体的なblow-up rate が $u_{\ell}$ のどれかに一致することを示した。本講演では指数 $p$ が特別な値をとるとき、$u_{\ell}$とは異なるblow-up rate を持つType II 爆発解が存在することを示す。