分野別セミナー

エネルギー臨界非線形シュレディンガー方程式について考察する．この方程式に対しては，Talenti関数が定常解となっていて，これよりエネルギーと運動エネルギーが小さい解は自由解に散乱する事が予想されている．実際，Kenig-Merle (2006) とKillip-Visan(2010) によって，それぞれ，球対称解と空間5次元以上の場合に肯定的な結果が得られている．どちらの場合も証明の鍵となるのは，minimal blowup solutionと呼ばれる解であり，この解の存在を否定する事によって証明が完了する．特に，minimal blowup solutionは，finite-time blowup, low-to-high frequency cascade, soliton-likeの3つの場合に分類され, どの次元でも, finite-time blowupはない事が示せるため，空間3,4次元の時に，low-to-high frequency cascadeとsoliton-likeの2つの場合がない事を証明すれば予想が解決されるが，未解決である．この講演では，low-to-high frequency cascadeの場合を否定するために有効と思われるアプローチと，soliton-likeの場合の解析に役立ちそうな補題"almost zero-momentum"を紹介する．